Родился 7 февраля 1972 года в Уругвае в семье оперного певца. Детство провёл в Австралии, а когда Анхелю было 11 лет, семья Бунани переехала в Израиль.
Анхель профессионально занимался футболом, а также работал моделью в Израиле. Помимо карьеры в кино и телевидении, Бунани занимается музыкой: актёр прекрасно поёт и самостоятельно пишет тексты песен. В 2012 году его поп-группа Project Passport выпустила альбом «State of Grace», состоящий из шести песен.
Актёр любит путешествовать, говорит на нескольких языках и увлекается изобразительным искусством.
19 июня 2014 года Бунани женился на Андрее Лейтерсдорф. В июне 2018 года у пары родился сын.